2026, 13, Nov & 期中考和打聽的矜持 & 卷積定理

13 Nov, 2026

期中考後

　　先來說說應數和理論力學，我覺得我這兩科考的還行，前者大概有PR88，後者大概有PR70上下。我覺得很令我苦惱的是，助教和教授好像都不大熟悉「卷積定理」¹，因為我基本是用卷積定理作為格林函數的Form，再將非齊次項丟進去求出特解，應數課有上積分變換但是只有上最基本的（拉氏轉換連平移定理都沒講，反轉換主要是算留數），當然卷積也就不會講了，理論力學我時間不大夠，所以也是用積分變換寫下卷積就交卷了，想不到連筆墨分數都沒有，太難過了！因此，我想要科普卷積定理和積分變換。

　　我們現在想像一個富豪投資兩家公司，賺到t元的機率大概是f(t)、g(t)，那麼請問，這個富豪大概一天賺t元的機率大概是多少？我們可以用級數和表示： $\sum_{τ = 0}^{t} f (τ) g (t - τ) = \sum_{τ = 0}^{t} f (t - τ) g (τ)$ 如果我們用區間密度代表離散機率的密度，那麼：

令 $0 = τ_{0} < τ_{1} < . . . < τ_{n} = t$ ，我們得到partition, $P = {Δ τ_{1}, Δ τ_{2}, . . ., Δ τ_{n}}$ ，其中 $Δ τ_{k} = τ_{k} - τ_{k - 1}$

因此我們得到： $l i m_{| | P | | \to 0} \sum_{k = 0}^{n} f (τ_{k}) g (t - τ_{k}) Δ τ_{k} = l i m_{| | P | | \to 0} \sum_{k = 0}^{n} f (t - τ_{k}) g (τ_{k}) Δ τ_{k}$

$= \int_{0}^{t} f (τ) g (t - τ) d τ = \int_{0}^{t} f (t - τ) g (τ) d τ$ $: = f * g$

以上就是針對半開無窮區間（下界有限，而上街趨於無窮，就例如 $(a, \infty)$ 、 $[b, \infty)$ ）的卷積定理。這裡我想提一嘴，很多書（像是Erwin進階工數、物理數學的書）會說 $n \to \infty$ 因此可以得到黎曼積分，這一點是有點倒果為因，我們要求Partition裡面最大的那個 $Δ τ_{k}$ 要趨於0，確實會使得n趨於無窮，但是n趨於無窮可是不保證我們切割出來的區段足夠的小，為何？你想像一下你在切蛋糕，如果你的蛋糕一直在一個右端切割而左邊都沒什麼切割，那麼這個蛋糕切出來的碎片怎麼會趨於0？所以我們應該要去P的mesh要趨於0才是合理的。

　　那麼，針對全域無窮（就例如 $(- \infty, \infty)$ ）的卷積定理要怎麼得到？還記得我們上面的卷積定理是從0開始的嗎？如果我們允許這個富翁是一個超級窮光蛋，那麼積分下界可以從0拓展到負無窮，同時他又可以投資超級多的錢讓t趨於正無窮，於是我們得到 $f * g = \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) g (t - τ) d τ = \int_{- \infty}^{\infty} f (t - τ) g (τ) d τ$

　　當然，我們要假設f、g這兩個函數相乘至少得要在積分域上片段連續且要絕對可積，這才有意義，用物理的觀點這是很理所當然的，畢竟粒子數守恆，機率也是守恆律的一個（再不考慮核反應、弱交互的情況下，粒子數守恆很自然對應到機率守恆，既然粒子數有限，你基本也不會期望這個叫做機率密度函數會發散）。

　　針對積分轉換，有一個很重要的定理和卷積有關，如下：

針對拉氏轉換

$ℒ {f * g} = ℒ {\int_{0}^{t} f (τ) g (t - τ) d τ} = ℒ {f} ℒ {g}$

針對傅里葉轉換

$ℱ {f * g} = ℱ {\int_{- \infty}^{\infty} f (τ) g (t - τ) d τ} = ℱ {f} ℱ {g}$

　　有了以上的基本概念，我們來解應數期中考的一個題目和昨天應數課上的一個Poison's Eq.的問題。

應數期中考

The (x(t)) and (y(t)) satisfy the coupled equations

{\begin{matrix} \frac{d^{2} x}{d t^{2}} - 3 \frac{d x}{d t} + 2 x = 0, \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t} - 2 y = x . \end{matrix}

where

y (0) = 0, \frac{d y}{d t} (0) = 0, x (0) = a, \frac{d x}{d t} (0) = b .

(i) Use Laplace transform to find the solution $\bar{y} (s)$ .

(ii) Set (a=0) and find (y(t)).

(i) Use Laplace transform to find (Y(s)).

Taking Laplace transform of the first equation,

s^{2} X - a s - b - 3 s X + 3 a + 2 X = 0

\Rightarrow (s^{2} - 3 s + 2) X - a s - b + 3 a = 0

\Rightarrow X (s) = \frac{a s + b - 3 a}{(s - 1) (s - 2)}

= \frac{2 a - b}{s - 1} + \frac{b - a}{s - 2}

Taking Laplace transform of the second equation,

s^{2} Y - s Y - 2 Y = X

\Rightarrow (s - 2) (s + 1) Y = X

\Rightarrow Y (s) = \frac{1}{3} (\frac{1}{s - 2} - \frac{1}{s + 1}) X (s)

Taking inverse Laplace transform,

\begin{matrix} y (t) = & \frac{1}{3} e^{2 t} * [(2 a - b) e^{t} + (b - a) e^{2 t}] \\ - \frac{1}{3} e^{- t} * [(2 a - b) e^{t} + (b - a) e^{2 t}] \end{matrix}

Using the convolution theorem,

\begin{matrix} y (t) = & \frac{1}{3} \int_{0}^{t} [(2 a - b) e^{τ} + (b - a) e^{2 τ}] e^{2 (t - τ)} d τ \\ - \frac{1}{3} \int_{0}^{t} [(2 a - b) e^{τ} + (b - a) e^{2 τ}] e^{- (t - τ)} d τ \end{matrix}

\begin{matrix} = & \frac{e^{2 t}}{3} \int_{0}^{t} [(2 a - b) e^{- τ} + (b - a)] d τ \\ - \frac{e^{- t}}{3} \int_{0}^{t} [(2 a - b) e^{2 τ} + (b - a) e^{3 τ}] d τ \end{matrix}

Evaluating the integrals,

\begin{matrix} = & \frac{e^{2 t}}{3} [(b - 2 a) e^{- t} - (b - 2 a) + (b - a) t] \\ - \frac{e^{- t}}{3} [\frac{2 a - b}{2} (e^{2 t} - 1) + \frac{b - a}{3} (e^{3 t} - 1)] \end{matrix}

Therefore,

\begin{matrix} y (t) = & \frac{b - 2 a}{2} e^{t} + [\frac{(b - a) t + (2 a - b)}{3}] e^{2 t} + \frac{2 a - b}{6} e^{- t} + \frac{b - a}{3} e^{3 t} + \frac{a - b}{3} \end{matrix}

(ii) Set (a=0) and find (y(t)).

Setting (a=0),

X (s) = b (\frac{1}{s - 2} - \frac{1}{s - 1})

Y (s) = \frac{b}{3} (\frac{1}{s - 2} - \frac{1}{s + 1}) (\frac{1}{s - 2} - \frac{1}{s - 1})

Taking inverse Laplace transform,

y (t) = \frac{b}{3} (e^{2 t} - e^{t}) * (e^{2 t} - e^{- t})

Using the convolution theorem,

\begin{matrix} y (t) = & \frac{b}{3} \int_{0}^{t} (e^{2 τ} - e^{τ}) (e^{2 (t - τ)} - e^{- (t - τ)}) d τ \\ = & \frac{b}{3} \int_{0}^{t} (e^{2 t} - e^{2 t - τ} - e^{- t + 3 τ} + e^{- t + 2 τ}) d τ \end{matrix}

Evaluating the integral,

\begin{matrix} y (t) = \frac{b}{3} [ & t e^{2 t} - \frac{e^{t}}{3} (e^{3 t} - 1) \\ + e^{2 t} (e^{t} - 1) + \frac{e^{- t}}{2} (e^{2 t} - 1)] \end{matrix}

Simplifying,

y (t) = \frac{b}{3} [\frac{3}{2} e^{t} + (t - \frac{4}{3}) e^{2 t} - \frac{1}{6} e^{- t}]

昨天應數課

Solve $\nabla^{2} ϕ = - \frac{ρ (\vec{r})}{ϵ_{0}}$ .

　　這個一樣很簡單，我們使用傅里葉轉換，假設這是一個三維的Case，並且這個potential的邊界條件是會遞減到0。

$ℱ {\nabla^{2} ϕ} = - k^{2} ℱ {ϕ} = ℱ {- \frac{ρ (\vec{r})}{ϵ_{0}}}$ ，值得留意的是，那個k平方是三個變數的k的平方和，也就是 $k^{2} = k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}$ ，然後我們移項得到：

$ℱ {ϕ} = \frac{1}{k^{2}} \times ℱ {\frac{ρ (\vec{r})}{ϵ_{0}}}$

我們同時做反轉換，得到：

$ϕ = ℱ^{- 1} {\frac{1}{k^{2}}} * \frac{ρ (\vec{r})}{ϵ_{0}}$

套句我高一物理老師說的：「經過一番精密的計算，我得到……。」²

$ϕ = \frac{1}{4 π} \int \int \int_{ℝ^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{ϵ_{0}} \frac{1}{| \vec{r^{'}} - \vec{r} |} d^{3} r^{'} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \int \int_{ℝ^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| \vec{r^{'}} - \vec{r} |} d^{3} r^{'}$

ikuka的部落格首頁

　　早上醒來，買好早餐，第一件事情就是打開我的Evolution來看學校的郵件和我訂閱的RSS，我看到ikuka的新文章〈部落格版面紀錄〉，除了發現部落格頁面有大改之外，我看到ikuka引用了我在那篇文章講的話，嚇得我瞬間起來寫部落格（當然，第一篇是超實用數學技巧推廣，這是我老早想寫的內容）。因為ikuka看到我的文章，在她昨天的新文章回答了我的問題：「wiwi部落格和初期ikuka第二個家的頁面確實是恐龍的預設。」但我卻沒有得到答案的痛快，因為我瞬間覺得我是不是批評到人家，或是讓人家不得不做點什麼。

　　我是覺得ikuka新的頁面有展現個人化（簡言之就是有做出差異化），當然，美感不是我所擅長的，我其實更欽佩的是對方的行動力，用了AI進行修改，我想到我已經用AI挑戰非特權LXC容器且失敗了大改4、5次³，因此看到ikuka表示自己和AI大戰，真的很令我訝異，也瞬間多了很多壓力。

　　我覺得自己的文章會被我自己訂閱的部落客看到，大概就像是有些人能夠和自己喜歡的網紅互動一樣的驚喜吧？況且我一直覺得我在一個一人社區默默耕耘，竟然有著如此巨大的交互，真是感嘆。畢竟我也只是小小參加過幾次BlogBlog同樂會、看到喜歡的文章且有留言板偶爾會下去留言一兩句，這或許有點Mastodon的精神吧？

學霸同學的期中考

　　這很奇怪啊，我為何要來講學霸同學的期中考？容我娓娓道來。

　　系上有一個學霸，這學期修了四大力學（理論力學、電磁學、熱統計力學、量子力學），大家都很佩服，而我修了其中三大力學，主要是我這學期的必修學分不大夠，因為我沒選到英文課，所以我才選擇先修大三的必修課。

　　半個月前，我發現那位學霸同學怎麽沒來上應用數學，我個人喜歡坐教室第一列（但我不是卷哥、卷姐⁴），因為我都付錢來上課，並且可以清楚看到黑板，問問題講話也可以不用那麼大聲，而且我都來上課了總不要瘋狂分心吧？而那位學霸同學也是經常坐第一列。我後來遇到學霸同學，我好奇問了一下（我記得期中考前他偶爾會沒來，好奇是不是有什麼科目要期中考而我不知道的），他說他是睡過頭。又過了一週他又沒來，我看到他後來來上課我就說：「你上次也是睡過頭所以沒來嗎？哈哈。」他說：「我是有一些個人的原因所以沒來，就是很不想上課。」我立馬打斷對方說話，我說：「停停停，私事我就不打聽了。」他就簡要地說是沒什麼動力想上課。

　　有次熱統演習課我問助教分數可不可以寫在裡面，因為我覺得分數大剌剌放在桌上太刺激了。我們是把考卷放在桌上，大家自己去領，因此都會看到他人的分數，尤其是最上面同學的，有些人會利用翻找考卷的同時看看其他人的分數，我則是只有翻姓名的部分，沒有把寫在姓名下面的分數翻出來地找我的考卷，我不喜歡被看到分數（無論考的如何），因此我會要求自己不要看別人的分數。但我有自己的劣根性，總會希望他人來向自己講分數，尤其是分數比自己低，但我基本不打聽。後來學霸同學來拿考卷，我看他考卷看得好用力，後來他朋友來：「考地很好吧？XXX」而學霸同學只是把考卷的封面折起來說：「才怪，你明明考的很好還問我。」他朋友似乎沒看到分數也沒繼續追問，只是做了男生之間勾肩搭背的行為就走了。但是，我都看到了，因為在他朋友來之前，學霸同學跟我說他理論力學（低於中位數）和量物（我沒修，所以不大能感受）炸了，這陣子心態炸裂（也沒去領應數考卷，因為應數課也沒什麼動力想去上課），後來他說他的熱統分數（比我低且低於平均，但後來要分到和我一致），我才知道那種打擊多大。你想想，一個大一很厲害的學霸同學，很會追求物理直覺（問問題他都會用自己的物理直覺解釋），還曾被尊稱為「X教授」的同學，那種心態炸裂是可想而知的。我也沒法多說什麼，我只慶幸我在系上努力默默無聞，頂多只是有一些同學覺得我會的數學技巧很多（我問我我都不會用物理直覺，我儘量用數學）且戮力於正規解法罷了。

　　我覺得助教很貼心，把我的分數寫在作答卷裡面而不是寫在封面。因為真有同學是會去翻繳回去的作答卷的封面，只能希望不是在看分數。

應數助教看到我第一行寫卷積直接打叉，我向老師要分數說：「你（XJD）這樣算應該可以？」，理論力學則是沒有筆墨分數（或許是評分標準也說不定）。↩
我記得我高一物理老師點到我起立回答問題時，我模仿了老師的語氣說：「經過一番精密的計算，我得到正確答案是XXOO。」，老師笑到口罩一鼓一鼓的，全班也都笑到不行，看來我很有當物理老師的潛力呢（？）↩
我其實想要用非特權容器，並且這個非特權容器是有root身份，我確實有依照AI，因為Debian官方文檔寫的簡陋（不符合我這裡的情況）、LXC的還好，其實我這裡主要出問題的地方是權限問題（即使我已經將配置文件使得不使用、不接入AppArmor，使用unconfine模式還是不行），我不喜歡無腦貼上AI的指令，像是AI還叫我刪掉我配置的好好的配置文件，或是莫名授予整個家目錄擁有「執行程式」的權限，這個在Debianwiki沒有提及。↩
指的是拿書卷獎的同學。↩

#物理 #部落格 #隨筆