2026, 21, Oct

21 Oct, 2026

愉快的回信和我的出乎意料

　　我記得我前幾天寫了〈2026, 19, Oct & 垃圾Line〉，然後我在兩三個小時後收到Jerry的回信，和我分享被LINE捉弄的心得，還有提供虛擬機的建議。關於虛擬機的建議，我覺得很實用，有空應該要來嘗試。我在退去了衝動後，才漸漸理解為何有人會覺得電腦環境固定了就不要再動了，以我來說，在虛擬機裝一次LabVIEW需要一個多小時，實體機半小時不到就裝好了順便讓電腦陷入藍屏死循環，基於這個成本考量，我還是先湊合著用吧。

　　我其實在換到BearBlog時，我並不打算一一告知有交換Blogroll的每一個部落客，就算到目前為止，就算昨天收到Herman寄信告訴我已經在BearBlog上停留不少時間（應該比較類似公告的信件）。因為我還沒關掉Blogger，Blogger的存在讓我覺得自己還沒找到定案，就算，那只是少數種類文章的存檔點，但因為持有、入場成本太低了，就會不大想丟。這麼說好了，我搬到BearBlog其實還蠻花心力的，因為我得要將文章逐一轉成Markdown格式，並且還要找圖庫，想當然耳我必須也一定會在BearBlog上努力耕耘，但Blogger短期內圖片可以存在（比外掛圖庫）這件事讓我很難放棄掉blogger。看來，等到我從學生畢業出了社會來考慮升級方案才是好方法（但搞不好我不需要這麼多圖片？畢竟短期的想要或許只是一種幻覺，一種以為自己有了就會成功的幻覺）。言歸正傳，我覺得我還會漂浮不定，而且我也沒買域名（聽說買域名可以降低搬家成本，或許應該先搞一個域名？再說吧），因此沒有很打算公告搬家這件事，但是Jerry還是幫我更新了他的Blogroll上的網址，我真的很開心，而且人家還有跟我回信。

內積空間和科普

　　我之前在滑Facebook滑到的，我看到XX大學一個教授的科普文章（似乎是敝系博士班畢業的學長？姑且這麼說吧，因為我是學士班的），裡面講到海森堡的矩陣力學，「算子（Operator）要用無限大的矩陣來表示對易關係」這句話我覺得很有問題，我覺得這裡面應該有我們對線性代數的誤解和物理學家不喜歡記憶數學的定義、定理等描述有關。

　　先來說說一個老生常談的函數和向量是等價的，函數「一般（有奇怪的映射關係可能會有例外）」滿足一下八大公設（axioms）：

Consider a pair of funtions, f, g and h, and constants, c and k

1. Commutativity: $f+g=g+f$

2. Associativity: $(f+g)+h=f+(g+h)$

3. 0: $f+0=f$

4. Anti-elements: $f+(-f)=0$

5. Distributivity I: $c(f+g)=cf+cg$

6. Distributivity II: $(c+k)f=cf+ck$

7. Associativity: $c(kf)=(ck)f$

8. Unit element of multplication: $1·f=f$

　　同理，我們將函數換成向量，如下：

Consider a pair of vectors, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ and $\overrightarrow{w}$, and constants, c and k

1. Commutativity: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$

2. Associativity: $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$

3. 0: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$

4. Anti-elements: $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$

5. Distributivity I: $c(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=c\overrightarrow{u}+c\overrightarrow{v}$

6. Distributivity II: $(c+k)\overrightarrow{u}=c\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{u}$

7. Associativity: $c(k\overrightarrow{u})=(ck)\overrightarrow{u}$

8. Unit element of multplication: $1\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$

　　更有趣的是，我們要是使用Dirac的記號就很簡潔了

1. Commutativity: $|f⟩+|g⟩=|g⟩+|f⟩$

2. Associativity: $(|f⟩+|g⟩)+|h⟩=|f⟩+(|g⟩+|h⟩)$

3. 0: $f+0=f$

4. Anti-elements: $|f⟩+(-|f⟩)=|0⟩$

5. Distributivity I: $c(|f⟩+|g⟩)=c|f⟩+c|g⟩$

6. Distributivity II: $(c+k)|f⟩=c|f⟩+k|f⟩$

7. Associativity: $c(k|f⟩)=(ck)|f⟩$

8. Unit element of multplication: $1|f⟩=|f⟩$

　　那我們依照Dirac的Brac-Ket記號，自然就得到線性的定義（c、k是常數，L是線性算子）：

$|L[cu]+L[kv]⟩=c|L[u]⟩+k|L[v]⟩$

我們可以發現，這個線性代數某種層面還不需要矩陣，實際上，你塞入一個線性的微分算子也不是不行，透過分部積分也會得到在矩陣上得到的性質（就例如某些矩陣有交換律，同理，有些微分方程的定積分再做分部積分也會得到交換律）。那麼，我們接下來就可以來定義「內積空間」：

1. Linearity: $|L[cu]+L[kv]⟩=c|L[u]⟩+k|L[v]⟩$

2. Commutativity: $⟨u|v⟩=(⟨u|v⟩{)}^{*}$

3. Non-Negative: $⟨u|v⟩>=0$ and $⟨u|u⟩=0$ iff $|u⟩$ is zero.

再提一嘴，我寫的正是最廣義的內積空間的定義（所謂Hilbert's Space的部分性質），其實實數內積空間就只是第二點的共軛複數有取跟沒取一樣罷了。其實，物理現象（尤其是慣性座標系對向量的要求）大抵就是內積空間，因此我不是很樂意看到物理學家寫的教科書定義了一個跟數學上不一樣的定義，甚至不是定義（舉例來說，「個向量存在一個正交矩陣使得向量的模長不變，這就是向量」這個物理學家的定義，殊不知這個定義是線性代數對於內積空間的一個「定理」）。除此之外，我對於物理學家內積的定義也不喜歡，為何一定要提到夾角？我問你，高維度的向量夾角怎麽定義？倘若你跟我說用內積就可以得到高維度向量的夾角，那你豈不就可以定義外積？因為餘弦出來了，正弦就出來，應該是可以找到外積的啊？但事實不是。

　　好了，扯了這麼多，我想要講什麼？這就可以帶出下一個我要講的，為何定積分可以當作函數的內積？仔細看看，定積分（廣義定積分，包含瑕積分）是不是滿足內積空間的定義？那麼，當然啦，函數內積會是積分不就出來了嗎？

　　由於歐式空間做內積中間可乘上單位矩陣，這個單位矩陣透露著每一個方向的權重，很顯然各向等價，這也符合牛頓力學的觀點，空間的方向是對稱且公平的。因此，我們要是可以有一個量尺來度量長度（模長），那麼這就是度量空間的雛形，在函數上，我們可以借用矩陣所講的方向權重的概念，得知函數的內積應該還需要一個「權重函數」，只不過在一般情況下這個權重函數是1罷了。

　　說到這裡，你還會嘗試用離散、三維空間的角度去想象一個自己講也講不清的抽象「無窮維矩陣」了嗎？我看過系上上課為了將離散的向量內積連接到函數積分，用了晶格模型（像示波器的方波）、函數當作坐標軸等奇特做法來作為教學，但我覺得，引入大家的約定，從中出發，這類公理化或許也不錯吧？

熱力學Canonical Ensemble和我們的直覺

　　今天我終於是大致知道Canonical Ensemble的想法，不得不說，Gibbs真的腦洞很大。

　　我們知道一個公平的硬幣出現正面和反面的機率各是二分之一。那麼，我們是怎麽知道的？我們知道一個動作叫做「試驗」，我們可以丟很多次的硬幣，然後再紀錄、統計，得到推論，這個過程中可能會重複出現正面或反面，但我們相信丟的足夠多次就可以將硬幣的每一種情況都經歷過一輪，這很當然的吧？沒有將所有的情況走過一次，我怎麼談機率？

　　但是，我們可以不可以換一個思路？既然我們要丟的足夠多次，並且還要將所有可能的情況都經歷過一次，我們為何不一次丟足夠多的硬幣（大於所有情況的排列組合數，最好是遠大於），然後再來統計就好了？這就是Gibbs' Idea的想法。

　　我們固定粒子數（N）、體積（V）、溫度（T），形成所謂的Canonical Ensemble(a.k.a. NVT Ensemble)。我們複製足夠多的系統，這些系統的N、V、T都是一樣的，然後按下播放間，這個數量只要多到「我每一瞬間都可以看到所有微觀態（一種巨觀態可以有多種微觀態）」就可以了，因為我們允許能量在這些複製的系統中流動，這就是我們講的reservior。你看，我們讓這個reservior當我們的統計材料順便充當背景板。

　　這裡就有一個有趣的問題，你這麼做只是保證了所有微觀態都有出現，這怎麽和統計力學的假設有矛盾（每一個微觀態出現的機率一樣）？我們先來說說統計力學的假設：「所有微觀態出現的機率一樣」這件事，這個有一個重大的前提，一是數量要足夠多（這是屁話，民調抽樣足夠大的群體可信度會相對好一些），二是我們必須在哈密頓力學，因為這時就可以用Liouville's Theorem和Continuity Equation來證明在相空間中，密度在軌跡上是均勻的，這就代表機率密度是均勻的（還記得我們的「試驗」嗎？我們在經歷所有情況的過程中，出現一次就紀錄一次，這就是所謂的均勻，我們不會說出現一次正面記作出現兩次正面）。所以，能量當然和微觀態的出現機率有關！

舊書攤

　　上個禮拜，我去臺中北屯區的一個舊書攤淘到一本Arfken的物理數學（第五版），這書況真的很好，2001年的書本，上面還有書套（雖然我拿到手就丟掉了，因為很髒）。我手邊還有一本Erwin的進階工數，但因為開始不夠用了，所以才開始物色物理數學的書。

　　我知道很多人會推薦Reily的物理數學，但你知道嗎？這書有很多數學不嚴謹、不喜歡寫出「定義」、「定理」，這部分Arfken有做到平衡，Hassani的做得最好（但境界太高，我還看不大懂）。我吃過Erwin這個數學家思維的物數入門書籍（這很夠工學院使用，只是物理系不大夠用），裡面嚴謹和親近（嚴謹證明起來太複雜的，會給出參考書目，自己翻，不會太複雜的，放附錄，其他相對容易的放內文，證明會儘量給，不常用的性質但好證明的放習題自己證明），所以Reily的就不大合我胃口了。

　　上了電磁學知道Arfken這本書，雖然向量的定義我不是很喜歡，但是裡面的Self-Adjoint講的很好（比Hassani的好懂多了），剛好Erwin的書沒有講Sturm-Liouville's Theory，只有講Sturm-Liouville's Problem，Arfken補足這個缺口，還有Erwin的書沒有將Green's Function和邊界值問題，但是這在物理上很重要，而Arfken也補足了。現在有了這兩本書，感到滿足。

　　不過，Arfken的書正如網路上所評價，很適合當工具書，但是自學的話要再考慮。我覺得章節安排沒問題，但這本書的篇幅比較精實（比Erwin第十版進階工數還要小本一些，講的廣而基本應用講得不深入就是了），但我覺得還蠻適合我的，因為我就是那個從第一頁開始啃Erwin進階工數的那個傻子。

#隨筆