物理系學生眼中的牛頓三大運動定律（我的拙見）

28 Jan, 2026

相信大家從國中到高中都有學過、聽過牛頓三大運動定律，這三個定律基本直覺且符合感官觀察。但如果，我發表我在大學學到的三大定律，並且一一分享牛頓原本的盲點，結果會如何？我們算是顛覆了牛頓嗎？我們來試試看。我先假定讀者是讀過國中，最好是高中讀過自然組且有認真看過高中物理課本且有稍加思考過，最簡單的檢測方式就是還能夠回想起高中物理在講什麼、物理含義為何，若仍這樣是最好，如果物理不好也沒關係，因為我這篇文章不大會也不大算加入數學，因為分享數學計算、應用不是我的目標，這是有需要的人的自主學習。

！！建議使用電腦版網頁檢視，以便查看數學式子！！
（9:08PM,2026/28/1經過一番小調整，手機版網頁可以不用切換到電腦版網頁即可檢視、複製完整LaTeX公式，歡迎使用行動裝置的讀者可以試試看）

需要的數學想法

　　向量的線性組合。這應該是高中生熟悉不過的數學概念，而我覺得最重要的是「向量的『線性組合』」。平面向量的線性組合的定義即為至少二個不平行的向量可以透過係數積表達出平面上所有的向量、所有的從起點指向的任意位置，空間向量的線性組合定義即為至少三個不互相平行的向量可以透過係數積的線性組合表達出空間上所有的向量、所有的從起點指向的任意位置。有沒有發現到一個有趣的事情，在N維空間下，至少需要N個向量才可以表達出所有的向量，而每一個向量都可以有這組向量——透過係數積和向量的加法性質——的唯一的線性組合來得到，這其實就是線性代數常講的沒有多餘（No Redundancy）。舉個最簡單的例子，在空間中，我們可以訂定好座標系——x、y、z軸和原點之類的——後，來為每一個位置給出唯一的坐標，說白了，這些坐標也可以視為相對於原點的向量，而x軸、y軸、z軸的值分別就對應 $\hat{i}$ 、 $\hat{j}$ 、 $\hat{k}$ 的係數，就例如 $(1, 2, 3) = 1 \cdot \hat{i} + 2 \cdot \hat{j} + 3 \cdot \hat{k} = 1 \cdot (1, 0, 0) + 2 \cdot (0, 1, 0) + 3 \cdot (0, 0, 1)$ ，這我相信有學過高中選修物理應該是看得懂的。

　　矩陣和向量。我們在高中數學（數學3A）應該有學過平面向量（或是平面坐標）使用矩陣做變換，就例如旋轉矩陣、鏡射矩陣、水平平移矩陣、垂直平移矩陣（其中平移矩陣的應用之一就是伽利略轉換的矩陣）。而我覺得最重要的概念是，我們怎麼將聯立方程組寫成矩陣乘法，這在高中數學3A課本在關於二元一次聯立方程組和矩陣的部分有講。聯立方程組 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y = 7 \\ x - 2 y = 1 \end{matrix}$ 可以表為

[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}]

，這個概念在相對運動和伽利略轉換（Galilean Transform）、勞倫茲轉換（Lorentz Transform）會用到，我們後面有機會會提到，在此我僅作為提示。

　　函數和向量是等價的。這個概念我覺得是相對抽象、腦洞大開的，為何？主要是大多數人（至少包含我）對於函數的想法僅停留在代數計算、向量還停在長度和箭頭（方向），這或許沒有錯，但是侷限太多了。我們可以從函數與向量的運算性質下手，會發現有共同點，且經過適當定義會發現二者沒有差別。舉例來說，二者皆有加法性質。我們不妨這麼想，函數 $y = f (x) = 2 x$ ，我們給定一個x的值（即x=k），其實就只是f(x)映射在x=k的長度。我們舉個簡單的例子，y=f(x)=2x，可以寫成 $2 x - y = (2, - 1) \cdot (x, y) = x \cdot \hat{i} + y \cdot \hat{j} = 0$ ，這麼一來就是大家熟悉的「內積為0即為向量正交（垂直）」，那麼x=1的時候，y要等於多少才能夠使得(1,y)對(2,-1)做正攝影為0，答案顯而易見即為y=2，也可以從另一個角度思考，g(x,y)=2x-y=0對y軸（(0,1)，或是 $\hat{j}$ ）做正攝影得到的值是2（即為y=2），從這個例子我們可以窺見函數可以用向量來表示、賦予含義等，我們也可以這麼想：「函數值是函數對變數投影所對應的長度」，這個概念在傅里葉變換、拉氏轉換、積分變換（常見的就類似把積分轉換成代數，透過代數運算後再反轉換回去求解）相當常見，因為我們可以透過坐標軸的轉換（就例如上一段提到的矩陣變換），將時間域轉換到頻率域。我們接下來會一一解釋這三大運動定律。

第一運動定律

　　在國中、高一我們學過第一定律是慣性，其描述為「在沒有外力的情況下，靜者恆靜、動者恆等速度直線運動」並且舉了伽利略的思想實驗，這個是對，但其實闡述了牛頓力學的基石、宗教觀點的衝擊。在高中的選修物理，我們得到第一定律的修正是「第一定律定義了什麼是慣性坐標系。觀察者若在慣性坐標系，則代表觀察者所在的坐標系慣性定律是成立的，在慣性坐標系的觀察者觀察到的運動現象才會符合牛頓運動定律」，最常舉的例子就是假力（公車剎車會自己往前，但明明沒有受到其他外力），這其實也保證了大家觀察到的物理會一致，想象一下我站在原地看甲加速跑步而乙乙等速度移動，我和乙可以得到一樣大小的甲的加速度但我們得到的結論可能不一樣（就例如我說甲的加速度是(1,0)m/s，但乙觀察到是(0,1)m/s），這其實就是我們觀察到一樣的物理。

　　我們來說說宗教觀點，為何亞里士多德會說天體運動時聖潔的、運動分為受迫運動和天文運動等觀點，這些觀點都帶有一個想法——絕對的觀察者。當時的人們（以當時的哲學家的觀點作為代表），都是以上帝的觀點來看（或許可以說是上帝視角），像是地球是宇宙中心，觀察到生活的運動跡象都是相當主觀的觀察（以「我」的觀點或是以「上帝」的觀點）。但是，我們不可否認的是，生活中處處都有相對運動，就好比坐車看向窗外會發現建築物向後移動之類的，我們的感官經驗告訴我們運動有相對性，而每個人對同一事物也許有不同的觀察結果，而這些觀察結果也許可以透過適當的轉換來互相比較。當我們發現地球不是宇宙的中心、人類不是支配地球的、我們和上帝看到的是不一樣的（想想地心說），由此可知，宇宙的解釋權不是宗教可以包山包海的、宗教也只是提供自己觀察到的見解（或許還不一定是真理），這對於宗教的權威、人們的價值觀有多大的改變！

　　我們來講講伽利略轉換。一維空間中，甲站在原點觀察乙在x上，現在乙用等速度u運動，且過了時間t，觀察到乙在x'（此時甲認為自己是在原點），我們可以輕易得到 $x^{'} = x - u t$ 、 $t^{'} = t$ （甲一開始認為的時間和等速度運動時的時間是一樣的。其實，這裡有個重要觀點，就是牛頓力學承認時間是永恆不變的，在北極的一秒鐘和在臺北的一秒鐘都是等價的），因此我們可列得

{\begin{matrix} x^{'} = x - u t \\ t^{'} = t \end{matrix}

然後得到

[\begin{matrix} 1 & - u \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ t \end{matrix}] = [\begin{matrix} x^{'} \\ t^{'} \end{matrix}]

，而這個水平推移矩陣

[\begin{matrix} 1 & - u \\ 0 & 1 \end{matrix}]

就是一維空間下的等速度運動的伽利略矩陣的形式。如果我們皆處於慣性坐標系，我們可以透過適當的坐標轉換（例如伽利略轉換）來將不同的觀察者的坐標旋轉、平移到另一個觀察者的坐標。倘若，我們再把腦洞挖大，來看看電子和光。我們知道實際上光速是不變的，時間不是永恆不變的，我們能看到東西是因為光的的傳播所致。設想一個情況，桌面上擺着一排的電子，觀察者在等速度運動，這位觀察者就觀察到有電流，因此這位觀察者推論這張桌子有磁場，但實際上真的有磁場嗎？我們說一排電子在桌上，和這位觀察者得到一樣的結論：電子沒有行加速度運動（至少不會有放出電磁波！使得能量衰減），卻得到不同的電磁學結果！知道光是沒有相對運動的，你拿着手電筒跑步我們測到手電筒的光速還是定植，這告訴我們這兩對眼睛（我和這位觀察者）都是透過從電子出發的光線照到眼睛，由這個光線是沒有相對運動，因此這代表時間不是固定的，光速才是。我們得到下列關係式

[\begin{matrix} γ & - β t \\ - β t & γ \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ c t \end{matrix}] = [\begin{matrix} x^{'} \\ c t^{'} \end{matrix}]

( $β = \frac{v}{c}$ 、 $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}}$ )，其中

[\begin{matrix} γ & - β t \\ - β t & γ \end{matrix}] $ $ 是 勞 倫 茲 轉 換 。 有 人 曾 採 訪 愛 因 斯 坦 ， 問 了 一 個 問 題 ， 關 於 愛 因 斯 坦 發 現 相 對 論 有 沒 有 雄 心 要 推 倒 牛 頓 力 學 ， 愛 因 斯 坦 認 為 沒 有 ， 主 要 是 這 些 物 理 的 論 述 最 大 的 問 題 在 於 觀 察 的 尺 度 。 我 們 知 道 微 觀 下 牛 頓 力 學 不 成 立 ， 依 循 這 個 觀 點 ， 伽 利 略 轉 換 只 是 在 物 體 運 動 速 度 遠 小 於 光 速 而 得 到 的 結 論 ， 我 們 可 以 用 泰 勒 展 開 得 到 ， 這 我 就 不 多 做 描 述 了 。 - 第 二 運 動 定 律 大 家 都 知 道 第 二 運 動 定 律 是 定 義 了 力 和 加 速 度 ， 我 們 可 以 回 顧 高 中 第 二 定 律 的 推 想 ： 「 定 力 F 下 ， 加 速 度 和 質 量 成 反 比 ； 定 質 量 m 下 ， 力 和 加 速 度 成 正 比 。 綜 合 二 者 得 到 $ \vec{a} \propto \frac{\vec{F}}{m} $ ， 即 $ \vec{a} = c \frac{\vec{F}}{m} $ ， 因 為 c 和 其 他 因 素 無 關 ， 因 此 適 當 取 c = 1 。 」 到 這 裡 ， 這 就 是 大 家 高 中 常 說 的 「 力 F = m a 」 。 但 是 ， 如 果 大 家 還 記 得 的 話 ， 牛 頓 當 時 對 於 力 的 定 義 不 是 單 純 的 F = m a ， 牛 頓 認 為 我 們 要 先 能 夠 衡 量 物 體 的 「 運 動 量 （ Q u a n t i t y o f M o t i o n ） 」 ， 而 這 個 運 動 量 正 好 是 動 量 （ M o m e n t u m ） ， $ \vec{p} \stackrel def = m \vec{v} $ ， 有 了 這 個 定 義 ， 牛 頓 指 出 力 是 動 量 的 時 變 率 （ $ \vec{F} = \frac{\vec{Δ p}}{Δ t} $ ） 。 到 這 裡 仿 佛 第 二 定 律 沒 有 什 麼 需 要 修 正 的 ， 頂 多 只 是 小 小 澄 清 而 已 。 但 如 果 我 說 ， 第 二 定 律 不 是 要 講 這 件 事 ， 你 認 為 第 二 定 律 想 要 表 達 什 麼 ？ 我 們 先 思 考 第 一 個 問 題 ， 我 們 怎 麽 觀 察 「 力 的 作 用 」 ？ 這 或 許 在 國 中 理 化 講 過 ， 就 是 形 變 或 是 運 動 狀 態 改 變 。 這 裡 就 有 兩 種 截 然 不 同 的 定 律 與 觀 察 方 式 在 裡 面 ， 分 別 是 虎 克 定 律 （ 形 變 ） 和 牛 頓 第 二 運 動 定 律 （ 運 動 狀 態 改 變 ） 。 我 們 想 要 找 出 那 個 最 基 本 的 方 式 來 驗 證 ， 因 此 我 們 選 虎 克 定 律 ， 為 何 ， 因 為 虎 克 定 律 告 訴 我 們 力 和 位 置 有 關 ， 也 就 是 說 任 意 的 力 皆 是 位 置 （ $ \vec{r} $ ） 的 函 數 （ $ F (\vec{r}) $ ） ， 不 妨 怎 麼 想 ， 運 動 狀 態 的 改 變 我 們 仍 然 有 辦 法 變 成 形 變 來 觀 察 （ 反 之 是 不 容 易 的 ） ， 而 且 虎 克 定 律 是 告 訴 我 們 力 和 位 置 有 關 （ 不 是 單 純 的 F = - k x ） ， 這 個 其 實 包 含 到 了 運 動 狀 態 （ 例 如 位 置 ， 位 置 對 時 間 的 一 次 微 分 就 是 速 度 、 位 置 對 時 間 的 二 次 微 分 就 是 加 速 度 ） 的 資 訊 ， 或 許 某 方 面 虎 克 比 牛 頓 還 厲 害 也 說 不 定 。 定 義 好 力 的 觀 察 和 接 受 虎 克 定 律 後 （ 此 時 我 們 尚 未 完 全 接 受 牛 頓 第 二 定 律 的 F = m a ） ， 我 們 來 思 考 第 二 個 問 題 ， 為 何 不 同 的 力 可 以 相 加 ？ 重 力 和 外 力 為 何 可 以 相 加 ？ 數 學 上 的 向 量 相 加 的 前 提 是 處 於 一 樣 的 坐 標 系 中 ， 不 可 能 數 學 考 試 前 一 題 的 向 量 可 以 和 下 一 題 的 向 量 相 加 ， 對 吧 ？ 在 深 入 討 論 這 個 問 題 之 前 ， 我 們 先 來 闡 述 力 存 在 的 所 需 條 件 ： 「 力 需 要 有 接 受 者 和 施 力 者 ， 而 二 者 的 交 互 作 用 就 是 力 的 展 現 。 也 可 以 這 麼 說 ， 力 是 會 帶 來 改 變 的 。 」 這 個 觀 點 — — 力 需 要 有 接 受 者 和 施 力 者 — — 是 十 分 重 要 的 ， 在 空 間 中 ， 要 有 兩 點 才 能 連 成 一 條 線 ， 如 此 一 來 是 不 是 就 能 定 義 位 置 （ $ \vec{r} $ ） ， 就 能 使 用 虎 克 定 律 了 ， 再 次 可 以 嘗 試 將 虎 克 定 律 視 為 較 為 基 本 的 理 論 。 回 到 正 題 ， 不 同 來 源 的 力 可 以 相 加 ， 是 不 是 代 表 這 些 力 是 不 是 有 一 個 共 同 的 東 西 、 性 質 將 其 串 聯 起 來 ？ 再 用 前 面 舉 得 數 學 考 卷 的 例 子 ， 這 些 向 量 可 以 相 加 是 不 是 表 示 這 些 向 量 至 少 在 同 一 道 題 目 裡 面 ？ 我 們 就 先 拿 重 力 和 外 力

F(\vec{r})=\frac{GMm}{r^2}\hat{r} $ $其中$ \hat{r}$ 是位置的單位向量。我們可以用彈簧（虎克定律）來測得這兩個力的大小，藉此可以測得質量。我們再進一步去思考，我們若是想要驗證這些力可以適當的、被合理的相加，當我們用同一個工具測得力之後，倘若這兩個力的質量一樣，是不是就代表這兩個力有共同的性質，因此我們就可以合理地相加這些力！我們將重力測得到的質量稱作重力質量（用個下標G）、慣性坐標系下測得的質量稱作慣性質量（用個下標I），我們來看看伽利略思想實驗，在當時人們認為東西愈重則下落速度愈大，現在有兩個質量不一樣的物體（分別用M、m表示），分別落下和一起落下，因此得到 $F_{M} = (\frac{G M}{r^{2}}) M_{G} = g M_{G}$ 、 $F_{m} = (\frac{G M}{r^{2}}) m_{G} = g m_{G}$ ，由牛頓第二定律得到 $a_{M} = \frac{F_{M}}{M_{I}} = \frac{g M_{G}}{M_{I}}$ 、 $a_{m} = \frac{F_{m}}{m_{I}} = \frac{g m_{G}}{m_{I}}$ ，我們來看看如果兩個綁在一起下落會得到 $a_{t o t} = \frac{F_{M} + F_{m}}{M_{I} + m_{I}} = g \frac{M_{G} + m_{G}}{M_{I} + m_{I}}$ ，我們取個值 $Δ = \frac{\frac{M_{G}}{M_{I}} - \frac{m_{G}}{m_{I}}}{\frac{M_{G}}{M_{I}} + \frac{m_{G}}{m_{I}}}$ ，重力質量等於慣性質量，重力質量不等於慣性質量，根據實際實驗重力質量是等於慣性質量的，因此前述的 $a_{t o t} = g$ 。其實伽利略的思想實驗有一種簡單地方法，不用到比薩斜塔（也是有人認為伽利略沒去比薩斜塔）就可以證明，假如我們將這兩個不同質量的的球用繩子綁在一起，因為各自的加速度不同，所以會互相拉扯（這也很直覺了吧！），故加速度反而有可能變慢。

　　重力質量和慣性質量沒有區別，這就是著名的「等效原理（Equivalence Principle）」，這個故事要從相對論說起。愛因斯坦在想，重力也許是一種假力，因為地表附近、處於重力場的物體都會受到一樣來源的加速度，這和處於失重的電梯裡的人都一起失重一樣，我們都獲得一樣的加速度，有兩種可能，一種是觀察者處於加速度坐標系、另一種是重力質量和慣性質量不一樣。我們來談談重力的三個矛盾，第一個矛盾是重力質量和慣性質量是等價的，第二個是為何重力場可以對不同的物體提供加速度（高中說過，重力場的範圍是無遠弗屆的），第三個是電磁場中有互斥的電荷那為何重力場只有引力。在狹義相對論中，愛因斯坦認為重力質量和慣性質量不一樣，這就代表加速度和物體所在的空間、本身性質有關，只不過在目前二種質量相等；但是在廣義相對論，愛因斯坦否定了這個說法，認為重力質量和慣性質量是一樣的，這麼想：「如果有一個假力可以使得系統中的每個物體都受到一樣的加速度，此時代表每個物體都處於同一個非慣性坐標系，而這個系統中的加速度就取決於這個非慣性坐標的加速度。我們可以得到，非慣性坐標系的加速度是由慣性質量（會造成時空扭曲）來決定的（牛頓第一、第二運動定律）。因此愛因斯坦認為重力質量是不存在的（這些加速度都是由慣性質量參與，沒有重力質量的參與），而重力質量只是一種假象。」

　　經過前面那長篇大論，原來以前認為的不變的、不需修改的運動定律是問題很大的定律之一、透漏核心的定律之一，我們來整理一下，其實第二定律是定義了慣性質量。

第三運動定律

　　第三定律是作用力與反作用力，而在高中的選修物理我們透過作用力與反作用力來得知系統的內力相消，進而促使系統動量守恆。我們從動量守恆的角度下手，想象一下，在雙體運動的系統中，二者視為一個系統，假如雙體的動量變化方向不同或是量值不同，會發生什麼事？我們對等速度運動的系統施予向東的力，結果系統的合力向東偏北45度，這就矛盾了，一開始等速度運動的系統受到外力，其合力不是和外力平行嗎？這顯然矛盾。又假如不受外力的系統本身動量不守恆，這個物體會自發性移動！但是牛頓第二定律闡述了力的條件，要有施力者和受力者（不考慮自體運動的情況下），因此系統不受外力的情況下，動量守恆是必然的。

　　乍看之下，第三運動定律似乎沒有什麼問題，我們再次回想作用力與反作用力的闡述，這兩個力同生同滅（高中選修物理也是這麼說），這裡就有大問題，就是有東西的傳遞比光速還快！這顯然違背我們在物理學所說的「宇宙最快的速度是光速」，這究竟是怎麼回事？我們高中物理學了這麼多，總覺得重力場是個沒什麼太大用處的概念（高中老師大概就說是一種影響範圍），其實「場」才是第三運動定律要闡述的。場是一種介質，用來傳播動量和能量，其表現方式就是力。舉個例子，太陽自身發生改變（動量改變），透過重力場傳遞能量和動量到地球，地球受到這個場而發生了影響，地球的影響再透過場的傳遞來回饋給太陽，乍看之下太陽-地球系統動量守恆，實際上地球和太陽產生反應是有段時間差，而這個重力場的傳遞速度是光速（也可說重力波的波速是光速）。我們來個大膽的想法，假如太陽瞬間消失，我們要過多久才會失去太陽提供的重力（地球沿切線飛出去之類的）？答案是8分鐘，剛好就和人們在8分鐘後才會看不到天空的太陽。

　　有名的費曼圖，畫了兩個電子碰撞會透過電磁波來交換動量和能量（不是真的撞在，也解釋了為何碰撞會發光），而電磁波的傳遞介質——電磁場——正是光子，依照這個想法，重力的傳播介質正是重力子，強力的傳播介質是膠子，弱力的傳播介質是玻色子。我個人認為這或許是大同一場理論的想法起點之一。

　　一樣，我們小小的統整一下，第三運動定律是定義了場。

小結

　　這個題材我是想了一下，決定來發表這個想法。我剛就讀清大物理系時，上了幾門課，發現這個普物簡直就像是在上玄學，教授認為古典物理、近代物理都有一些相同或是相似的核心性質，因此上古典力學偷渡相對論、上波動講到繞射極限偷渡測不準原理之類的，簡直腦洞大開，令我欲罷不能。我高中也滿喜歡思考物理課本提的很多問題，上課的一些原理，有時弄得班上物理課是我和老師在對話，但願大家也能得到這一份喜悅與思考的動力。在提筆時，想到普物教授常說有學生抱怨物理課像是數學課，而教授認為物理課還是物理課，覺得像是在學數學可能是花太多時間在學數學、用錯方式看待物理，這個想法使得我嘗試儘量不要在這篇文章講太多的數學，其實數學在物理上是很精確的語言，就拿波動來說，什麼是波、波的行為，用講的講不完、不清楚，但是用波動方程、傅里葉級數之類的就可以簡潔、整齊的描述，我又不希望這像科普文章為了易懂而忽略、犧牲太多，但願我能做好這個目標。

#物理 #隨筆