遲來的應數期末考檢討（Sturm-Liouville Problem和Legendre Equation的正交性）

28 Aug, 2026

前言

　　在2026-spring的應數期末考，老師考了一題證明Legendre Polynomial是正交的，而我記得老師的課堂證明的思路是直接證明（級數相乘再直接積分或是生成函數法），而助教認為證明繁瑣所以就略過了。今天，剛好看到Erwin的《Advanced Engineering Mathematics》的Sturm-Liouville一節，找到一個很簡單的證法，要是提早三個月知道，我說不定期末考再加7分。

Sturm-Liouville Problem

　　這是一個邊界值問題（Boundary Value Problem, abbr. BVP），我們先從定義出發，再推導定理，最後我們再來檢討考卷。

Def. Sturm-Liouville Problems

$(p (x) y^{'})^{'} + (q (x) + λ r (x)) y = 0$ with boundary condition

{\begin{matrix} k_{1} y (a) + k_{2} y^{'} (a) & = & 0 \\ l_{1} y (b) + l_{2} y^{'} (b) & = & 0 \end{matrix}

where $x \in [a, b]$ , $y_{m} \neq 0$ or $y_{n} \neq 0$ .（我們不考慮y=0這個平凡解）

正交函數（Orthogonal Functions）

Consider a set of function on interval [a,b], namely, we have $y_{n} (x) = {y_{1}, y_{2}, . . .}$ . We define the inner product of any two function for any positive weight function, r(x)>0, so we have

$⟨ y_{m} | y_{n} ⟩ = \int_{a}^{b} r (x) y_{m} (x) y_{n} (x) d x = 0$ if $m \neq n$

$⟨ y_{m} | y_{m} ⟩ = \int_{a}^{b} r (x) y_{m} (x) y_{n} (x) d x \neq 0$ if $m = n$

　　我們可以想象函數像是向量，在正交基底下，自己和自己內積不為零，和別人內積為0。當然，我十分不推薦將空間坐標系認為是一種函數，舉例來說，有的人上課會說f(x)=x+exp(x)就像是三維坐標下x軸代表x、y軸代表exp(x)、z軸是f(x)，因為這在後面的說明、函數積分像內積會產生侷限（以我來說，我真的會不自覺想作兩個向量相乘得到的矩形面積，甚至設法想像y坐標是 $Δ x$ 、橫座標是函數得到黎曼積分），這在數學上、抽象概念我覺得不是太穩妥，當作是直覺過渡即可，代數思維還是很重要的（像我就沒有太多幾何思維的天分，歷史上幾何思維天分最好的數學家之一是黎曼、代數思維最厲害的之一是歐拉）。

　　我這裡再提一嘴，內積我們可以定義一個權重函數，這就類似「度規」，在歐式幾何中，列向量乘以單位方陣再乘以行向量就是向量內積，而在閔氏空間的度規不一樣，所以在內積的保長會是負值（就例如耳熟能詳的 $- c t^{2}$ ）。

Theorem of orthogonality of eigenfunction of Sturm-Liouville Problem

　　我們物理系很喜歡一個觀念叫做算符，而我一直避免自己濫用算符，我不喜歡開口閉口都是operator，不可以都說一個函數丟到一個黑箱子得到一個輸出，就放心認為這個算符是線性的、理想的。

　　言歸正傳，還記得Sturm-Liouville Problems的形式嗎？倘若我們建立一個線性算符（何謂線性算符？以線性代數的角度來說，要滿足向量運算的八大性質。再提一嘴，常數其實就是一維向量，所以我們可以直接用向量來證明代數運算的性質是完全沒問題的！再提一嘴，微分可以用線性代數得到，而那一個算符的矩陣是Jacobian，這在多變數函數就會知道），就可以得到一個Eigenvalue Problem，我們要找的正交集合就是本徵值對應的Eigenfunction，這些本徵函數就是Sturm-Liouville Problems的解（找出基底，就可以拼出解，有了給定的條件，我們就可以找到唯一的解）。我們先約定，經過一個算符L過後的函數Z，我們記作Z=L{y}。所以得到

L {y} = (p (x) y^{'})^{'} + q (x) y = - λ r (x) y

我們可以自行驗證，這一個算符是不是線性的（大致看一下是線性的），且很剛好寫作是本徵值問題。

Def. Orthogonality of Eigenfunctions of Sturm–Liouville Problems

（我懶著寫英文）

　　假如p(x)、q(x)、r(x)、p’(x)都是實數函數（就是給定了x值，就會得到一個確定的實數），且都在[a,b]上連續且r(x)在[a,b]上都是正實數。而 $y_{m}$ 、 $y_{n}$ 是這個二階微分方程的解（對應兩個不同的eigenvalue， $λ_{m}$ 和 $λ_{n}$ ），那麼 $y_{m}$ 、 $y_{n}$ 互為正交，即為 $⟨ y_{m} | y_{n} ⟩ = \int_{a}^{b} r (x) y_{m} (x) y_{n} (x) d x = 0$ if $m \neq n$ 。

　　我們來證明一下。我們先令 $y_{m}$ 、 $y_{n}$ 是解且本徵值是相異實根（有趣地，Sturm-Liouville Problems的本徵值必為實根，如果這個方程是實係數），然後直接帶入Sturm-Liouville Problems的等式，得到下列過程：

{\begin{matrix} (p (x) y_{m}^{'})^{'} + (q (x) + λ_{m} r (x)) y_{m} & = & 0 \\ (p (x) y_{n}^{'})^{'} + (q (x) + λ_{n} r (x)) y_{n} & = & 0 \end{matrix}

⟹ {\begin{matrix} (p (x) y_{m}^{'})^{'} y_{n} + (q (x) + λ_{m} r (x)) y_{m} y_{n} & = & 0 \\ (p (x) y_{n}^{'})^{'} y_{m} + (q (x) + λ_{n} r (x)) y_{n} y_{m} & = & 0 \end{matrix}

⟹ (λ_{m} - λ_{n}) r (x) y_{m} y_{n} = (p (x) y_{n}^{'})^{'} y_{m} - (p (x) y_{m}^{'})^{'} y_{n} = ((p y_{n}^{'} ） y_{m} - (p y_{m}^{'}) y_{n})^{'}

⟹ (λ_{m} - λ_{n}) \int_{a}^{b} r (x) y_{m} y_{n} d x =

((p (b) y_{n}^{'} (b) ） y_{m} (b) - (p (b) y_{m}^{'} (b)) y_{n} (b)) - ((p (a) y_{n}^{'} (a) ） y_{m} (a) - (p (a) y_{m}^{'} (a)) y_{n} (a))

千萬別忘記，我們還有

{\begin{matrix} k_{1} y (a) + k_{2} y^{'} (a) & = & 0 \\ l_{1} y (b) + l_{2} y^{'} (b) & = & 0 \end{matrix}

而y用 $y_{m}$ 代、y用 $y_{n}$ 代，就會再得到四個聯立方程式。

Case I: p(a)=0 but $p (b) \neq 0$ [Singular Problem]

　　解下列聯立，我們令 $l_{2} \neq 0$

{\begin{matrix} (p (b) y_{n}^{'} (b) ） y_{m} (b) - (p (b) y_{m}^{'} (b)) y_{n} (b) & = & 0 \\ l_{1} y_{m} (b) + l_{2} y_{m}^{'} (b) & = & 0 \\ l_{1} y_{n} (b) + l_{2} y_{n}^{'} (b) & = & 0 \end{matrix}

⟹ {\begin{matrix} (p (b) y_{n}^{'} (b) ） y_{m} (b) - (p (b) y_{m}^{'} (b)) y_{n} (b) & = & 0 \\ (l_{1} y_{m} (b) + l_{2} y_{m}^{'} (b)) y_{n} (b) & = & 0 \\ (l_{1} y_{n} (b) + l_{2} y_{n}^{'} (b)) y_{m} (b) & = & 0 \end{matrix}

⟹ {\begin{matrix} (p (b) y_{n}^{'} (b) ） y_{m} (b) - (p (b) y_{m}^{'} (b)) y_{n} (b) & = & 0 \\ l_{2} (y_{n}^{'} (b) y_{m} (b) - y_{m}^{'} (b) y_{n} (b)) & = & 0 \end{matrix}

⟹ p (b) \propto l_{2}

Case II: $p (a) \neq 0$ but p(b)=0 [Singular Problem]

　　解下列聯立，我們令 $k_{2} \neq 0$

{\begin{matrix} (p (a) y_{n}^{'} (a) ） y_{m} (a) - (p (a) y_{m}^{'} (a)) y_{n} (a) & = & 0 \\ k_{1} y_{m} (a) + k_{2} y_{m}^{'} (a) & = & 0 \\ k_{1} y_{n} (a) + k_{2} y_{n}^{'} (a) & = & 0 \end{matrix}

⟹ {\begin{matrix} (p (a) y_{n}^{'} (a) ） y_{m} (a) - (p (a) y_{m}^{'} (a)) y_{n} (a) & = & 0 \\ (k_{1} y_{m} (a) + k_{2} y_{m}^{'} (a)) y_{n} (a) & = & 0 \\ (k_{1} y_{n} (a) + k_{2} y_{n}^{'} (a)) y_{m} (a) & = & 0 \end{matrix}

⟹ {\begin{matrix} (p (a) y_{n}^{'} (a) ） y_{m} (a) - (p (a) y_{m}^{'} (a)) y_{n} (a) & = & 0 \\ k_{2} (y_{n}^{'} (a) y_{m} (a) - y_{m}^{'} (a) y_{n} (a)) & = & 0 \end{matrix}

⟹ p (a) \propto k_{2}

Case III: $p (a) \neq 0$ and $p (b) \neq 0$ [Regular Problem]

　　解下列聯立

{\begin{matrix} (p (a) y_{n}^{'} (a) ） y_{m} (a) - (p (a) y_{m}^{'} (a)) y_{n} (a) & = & (p (b) y_{n}^{'} (b) ） y_{m} (b) - (p (b) y_{m}^{'} (b)) y_{n} (b) \\ k_{1} y_{m} (a) + k_{2} y_{m}^{'} (a) & = & 0 \\ k_{1} y_{n} (a) + k_{2} y_{n}^{'} (a) & = & 0 \\ l_{1} y_{m} (b) + l_{2} y_{m}^{'} (b) & = & 0 \\ l_{1} y_{n} (b) + l_{2} y_{n}^{'} (b) & = & 0 \end{matrix}

依循同樣地技巧，令 $l_{2} \neq 0$ 、 $k_{2} \neq 0$ 再求解即可

Case IV: p(a)=0 and p(b)=0

　　這就是一元一次方程式。

Case V: p(a)=p(b) [Periodic Boundary Conditions]（想想位能井-波函數問題）

y_{n}^{'} (a) ） y_{m} (a) - y_{m}^{'} (a) y_{n} (a) = y_{n}^{'} (b ） y_{m} (b) - y_{m}^{'} (b)) y_{n} (b) ⟺ y (a) = y (b) \cap y^{'} (a) = y^{'} (b)

來思考奇怪的問題

本徵值會不會重根？

　　一般來說不會。但如果是週期性邊界值問題，那麼答案是三角函數（i.e., $y^{″} + λ^{2} y = 0$ ，我們取正的本徵值 $λ$ 。如果你取負的，經過三角函數的負角公式就還是只有正弦、餘弦兩個答案）。在某些書，這類週期性邊界值問題不屬於Sturm-Liouville問題，因為是不屬於分離（separated）的問題。（參考：Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem, 9ed, William E. Boyee & Richard C. DiPrima. Sect 11.2）

本徵值為0代表什麼？

　　這個解可能是常數或是多項式，這需要視情況討論。

Bessel函數的解（Bessel's Function）是不是正交的？

　　我們先來回憶一下Bessel's Equation：

x^{2} y^{″} + x y^{'} + (x^{2} - v^{2}) y = 0

我們改寫一下得到（注意，我寫的是標準形式）

x y^{″} + y^{'} + (λ x - \frac{v^{2}}{x}) y = 0 (x \neq 0)

⟹ (x y^{'})^{'} + (- \frac{v^{2}}{x} + λ x) y = 0 (x \neq 0)

於是，我們又得到Strurm-Liouville Problem的形式，所以Bessel's Function可以形成正交基底。

我們來檢討考卷吧

　　我們先來回憶一下Legendre's Equation：

(1 - x^{2}) y^{″} - 2 x y^{'} + l (l + 1) y = 0

我們改寫一下得到

((1 - x^{2}) y^{'})^{'} + (0 + l (l + 1) * 1) y = 0 (x > 0)

於是，我們又得到Strurm-Liouville Problem的形式。

　　我們又已經知道Legendre's Equation在合理的假設下的解為

y (x) = P_{1} (x) = \sum_{m = 0}^{⌊ \frac{l}{2} ⌋} \frac{(- 1)^{m} (2 l - 2 m)! x^{l - 2 m}}{2^{l} m! (l - m)! (l - 2 m)!}, x \in [- 1, 1]

　　根據Sturm-Liouville Problem的定理，我們於是就知道Legendre Polynomial形成的集合是正交基底，故得證。也就是說，滿足：

$⟨ P_{m} | P_{n} ⟩ = \int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = 0$ if $m \neq n$

$⟨ P_{m} | P_{m} ⟩ = \int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x \neq 0$ if $m = n$

　　我們要是用一下積分代換，就會得到： $⟨ P_{m} | P_{n} ⟩ = \int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = \int_{π}^{0} - s i n θ P_{m} (θ) P_{n} (θ) d θ = \int_{0}^{π} s i n θ P_{m} (θ) P_{n} (θ) d θ$ ，此時的權重函數就是正弦函數。

　　可以看看：這個

參考

Advanced Engineering Mathematic, 10ed, Erwin Kreyszig. Sect 11.5
Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem, 9ed, William E. Boyee & Richard C. DiPrima. Sect 11.2
Properties of Sturm-Liouville Eigenfunctions and Eigenvalues, lecturenotes made by Jim Lambers. https://eclass.uoa.gr/modules/document/file.php/MATH107/%CE%92%CE%BF%CE%B7%CE%B8%CE%B7%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C%20%CF%85%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CF%8C/%CE%A0%CF%81%CE%BF%CE%B2%CE%BB%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1%20Sturm-Liouville/lecture20.pdf

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